Posisi Matahari Algoritma Meeus

Sebagai kelanjutan dari tulisan sebelumnya tentang menghitung posisi bulan berdasarkan algoritma Meeus, pada kesempatan ini penulis akan menyajikan cara menghitung posisi matahari berdasarkan algoritma Meeus. Algoritma Meeus untuk menentukan posisi matahari ini sebenarnya merupakan reduksi dari algoritma VSOP 87 yang lengkap. Dari ribuan suku koreksi dalam algoritma VSOP 87 untuk menentukan posisi matahari (bujur ekliptika, lintang ekliptika dan jarak bumi-matahari), maka yang diperhitungkan adalah sekitar ratusan suku-suku yang besar dan penting dalam algoritma Meeus ini. Adapun suku-suku lainnya yang kecil-kecil tidak ikut diperhitungkan.

Dalam tulisan sebelumnya tentang Menghitung Posisi Matahari, penulis telah menyajikan cara menghitung bujur ekliptika dan jarak bumi-matahari secara ringkas. File MS Excel untuk menghitung posisi matahari tersebut dapat diunduh di

http://www.4shared.com/file/113515408/6d7dc68f/Posisi-Matahari.html

Untuk keperluan praktis, metode tersebut sudah cukup akurat, walaupun oleh J. Meeus dikatakan sebagai low accuracy (akurasi rendah). Dalam tulisan tersebut, untuk menghitung bujur ekliptika matahari, hanya dihitung enam buah suku koreksi bujur ekliptika matahari. Bandingkan dengan algoritma Meeus yang berisi sekitar 129 suku koreksi. Perbandingan lainnya, dalam tulisan tersebut, lintang ekliptika matahari dianggap sama dengan nol, sementara menurut algoritma Meeus, nilainya tidak selalu persis sama dengan nol. Karena lintang ekliptika matahari tidak pernah melebihi satu detik busur (0,00003 derajat) karena itu dalam tulisan tersebut diasumsikan sama dengan nol. Untuk menghitung lintang ekliptika matahari dalam algoritma Meeus, diperlukan sekitar 7 suku koreksi. Sementara itu dalam tulisan tersebut, jarak bumi-matahari dihitung dengan menggunakan sekitar 6 suku koreksi, sedangkan pada algoritma Meeus sekitar 59 suku koreksi.

File MS Excel untuk menghitung posisi matahari (sekaligus bulan) berdasarkan algoritma Meeus dapat diunduh di

http://www.4shared.com/file/132303792/742cb339/Posisi-Bulan-Matahari-Algoritma-Meeus.html

Algoritma Meeus

Untuk menentukan bujur ekliptika dan lintang ekliptika matahari yang diukur menurut titik pusat bumi (geosentrik), digunakan perhitungan tidak langsung. Untuk menentukan bujur ekliptika matahari yang diukur menurut pusat bumi, terlebih dahulu dihitung bujur ekliptika bumi yang diukur menurut pusat matahari. Posisi bumi diukur menurut matahari merupakan lawan (opposite) dari posisi matahari menurut bumi. Setelah bujur ekliptika bumi (L) diperoleh, maka bujur ekliptika matahari (Theta) = L + 180 derajat. Penambahan angka 180 derajat ini sebenarnya merupakan manifestasi dari posisi bumi menurut matahari yang menjadi lawan dari posisi matahari menurut bumi.

Selanjutnya, juga dihitung terlebih dahulu lintang ekliptika bumi menurut pusat matahari (B). Jika B telah diperoleh, maka lintang matahari menurut pusat bumi (Beta) sama dengan minus B. Hal ini dapat dengan mudah dipahami. Lintang berkaitan dengan posisi di atas atau di bawah bidang ekliptika. Jika bumi ada di atas matahari, maka tentu saja matahari ada di bawah bumi.

Terakhir, jarak matahari dari bumi tentu saja sama dengan jarak bumi dari matahari. Jadi, ketika jarak bumi dihitung menurut pusat matahari, maka hal itu sama dengan menghitung jarak matahari menurut pusat bumi.

Misalnya kita ingin menentukan posisi matahari pada tanggal dan waktu tertentu, maka caranya adalah sebagai berikut.

Tanggal dan waktu tersebut seperti biasa diubah menjadi Julian Day (JD) bersatuan UT (atau GMT). Selanjutnya Julian Day Ephemeris (JDE) bersatuan TD (Dynamical Time) diperoleh dengan cara menambahkan JD dengan Delta_T, atau JDE = JD + Delta_T. Kemudian, juga seperti biasa, dari nilai JDE ini diperoleh nilai T = (JDE – 2451545)/36525. Dari nilai T ini, maka tau = T/10. Jadi, untuk tanggal dan waktu tertentu, maka T dan tau juga tertentu.

Koreksi bujur ekliptika

Seperti telah disajikan di atas, ada sekitar 129 suku koreksi bujur ekliptika. Seluruh suku ini dibagi menjadi 6 bagian, yaitu L0 (64 suku), L1 (34 suku), L2 (20 suku), L3 (7 suku), L4 (3 suku) dan L5 (1 suku). Setiap suku memiliki bentuk

A*COS(B + C*tau).

Satuan A, B dan C adalah dalam radian (1 radian = 57,2957795 derajat). Untuk L0, suku dengan A terbesar adalah A = 175347046 dimana nilai B dan C berturut-turut adalah 0 dan 0. Jadi suku terbesar ini bentuknya adalah 175347046*COS(0 + 0*tau) = 17534706. Selanjutnya, suku dengan A terbesar kedua adalah 3341656 dimana B = 4,6692568 dan C = 6283,07585 sehingga suku ini berbentuk 3341656*COS(4,6692568 + 6283,07585*tau). Dan begitu seterusnya, hingga untuk L0, suku ke 64 berbentuk 25*COS(3,16 + 4690,48*tau). Akhirnya, 64 suku dalam L0 tersebut dijumlahkan, yang hasilnya adalah Total_L0.

Begitu pula untuk L1 yang berisi 34 suku, suku dengan A terbesar berbentuk 628331966747, berikutnya 206059*COS(2,678235 + 6283,07585*tau) dan seterusnya, hingga suku ke 34 berbentuk 6*COS(4,67 + 4690,48*tau). Akhirnya 34 suku dalam L1 dijumlahkan, hasilnya adalah Total_L1. Demikian seterusnya untuk L2, L3, L4 dan L5 yang pada akhirnya menghasilkan Total_L2, Total_L3, Total_L4 dan Total_L5.

Akhirnya koreksi bujur ekliptika L = (Total_L0 + Total_L1*tau + Total_L2*tau^2 + Total_L3*tau^3 + Total_L4*tau^4 + Total_L5*tau^5)/100000000.

Dalam rumus di atas, ada angka pembagi 100000000 (seratus juta), karena aslinya seluruh nilai A bersatuan 0,00000001 radian. Hanya saja untuk mempermudah penulisan, pertama semua nilai A dikalikan dengan 100 juta, baru terakhir dibagi dengan 100 juta. Nilai L yang masih dalam radian tersebut lalu dikonversi menjadi derajat.

Setelah diperoleh nilai L yang tidak lain adalah bujur ekliptika bumi diukur dari pusat matahari, maka bujur ekliptika matahari diukur dari pusat bumi (Theta) = L + 180 derajat. Nilai Theta ini masih harus dikoreksi oleh Delta Theta (akibat perbedaan kecil antara koordinat FK5 dan ekliptika geosentrik) yang memberikan hasil Theta terkoreksi. Theta terkoreksi ini masih harus ditambahkan dengan koreksi nutasi (osilasi sumbu rotasi bumi) dan koreksi aberasi (pergeseran kecil posisi benda langit karena faktor kecepatan cahaya). Dengan menjumlahkan Theta terkoreksi dengan dua koreksi tersebut, diperoleh bujur ekliptika nampak matahari dilihat dari pusat bumi (apparent geocentric longitude).

Koreksi Lintang ekliptika

Ada 7 buah suku koreksi lintang ekliptika, yang dikelompokkan ke dalam B0 (5 suku) dan B1 (2 suku). Setiap suku juga memiliki bentuk A*COS(B + C*tau). Satuan A, B dan C adalah radian. Untuk B0, kelima suku tersebut dijumlahkan. Secara lengkap total suku B0 ditulis sebagai berikut.

Total_B0 = 280*COS(3.199 + 84334.662*tau) + 102*COS(5.422 + 5507.553*tau) + 80*COS(3.88 + 5223.69*tau) + 44*COS(3.7 + 2352.87*tau) + 32*COS(4 + 1577.34*tau).

Untuk dua suku B1, Total_B1 = 9*COS(3.9 + 5507.55*tau) + 6*COS(1.73 + 5223.69*tau).

Akhirnya, koreksi lintang ekliptika B = (Total_B0 + Total_B1*tau)/100000000.

Dalam rumus di atas, ada angka pembagi 100000000 (seratus juta), karena aslinya seluruh nilai A bersatuan 0,00000001 radian. Hanya saja untuk mempermudah penulisan, pertama semua nilai A dikalikan dengan 100 juta, baru terakhir dibagi dengan 100 juta. Nilai B yang masih dalam radian tersebut lalu dikonversi menjadi derajat.

Dari nilai B tersebut yang merupakan lintang ekliptika bumi dilihat dari matahari, maka lintang ekliptika matahari dilihat dari pusat bumi adalah Beta = – B. Nilai Beta ini harus dikoreksi lagi dengan Delta Beta, sehingga akhirnya, Beta terkoreksi = Beta + Delta Beta.

Koreksi Jarak Bumi-Matahari

Dalam algoritma Meeus ini, ada sekitar 59 suku koreksi jarak bumi-matahari, yang dikelompokkan ke dalam R0 (40 suku), R1 (10 suku), R2 (6 suku), R3 (2 suku) dan R4 (1 suku). Seluruh suku juga berbentuk A*COS(B + C*tau). Cara perhitungan sama seperti pada koreksi bujur ekliptika.

Akhirnya, jarak pusat bumi – pusat matahari = (Total_R0 + Total_R1*tau + Total_R2*tau^2 + Total_R3*tau^3 + Total_R4*tau^4)/100000000.

Jarak bumi-matahari ini dinyatakan dalam satuan AU (astronomical unit). 1 AU = 149598000 km, yang merupakan jarak rata-rata bumi-matahari.

Koordinat Ekuator geosentrik dan horisontal

Jika bujur dan lintang ekliptika matahari sudah dihitung, maka selanjutnya right ascension dan deklinasi matahari dalam koordinat ekuator geosentrik juga dapat dihitung. Dari sini, selanjutnya dapat dihitung posisi matahari dalam koordinat horisontal, yaitu azimuth dan altitude (ketinggian dari ufuk).

Contoh soal: Tentukan posisi matahari secara geosentrik pada tanggal 17 Nopember 2009 pukul 17:49:43 WIB. Tentukan pula azimuth dan altitude matahari "geosentrik" di Jakarta (106:51 BT 6:10 LS) pada waktu tersebut.

Jawab:

• Pukul 17:49:43 WIB = pukul 10:49:43 UT.
• Julian Day (JD) untuk 17 Nopember 2009 pukul 10:49:43 UT = 2455152,951192.
• Delta_T untuk waktu tersebut dapat diperkirakan sama dengan 66,6 detik = 0,000771 hari.
• Julian Day Ephemeris (JDE) = JD + Delta_T = 2455152,951964.
• Nilai T = (JDE – 2451545)/36525 = 0,098780341233.
• Nilai tau = T/10 = 0,009878034123.
• Dari nilai tau tersebut, seluruh suku koreksi bujur, lintang dan jarak dapat dihitung sebagai berikut.
• Koreksi bujur ekliptika L = 63,795722 radian = 3655,225620 derajat = 55,225620 derajat.
• Theta = 180 derajat + L = 235,225620 derajat.
• Dengan memperhitungkan faktor Delta Theta = -0,000025 derajat, maka Theta terkoreksi = 235,225595 derajat.
• Selanjutnya, dengan memperhitungkan koreksi nutasi (delta Psi) sebesar 0,003910 derajat dan koreksi aberasi sebesar -0,005757 derajat, akhirnya diperoleh bujur ekliptika nampak matahari (Lambda) = 235,223748 derajat = 235:13:25 derajat (235 derajat 13 menit busur 25 detik busur).
• Koreksi lintang ekliptika (B) dapat dihitung sebesar = 0,376 detik busur.
• Karena itu Beta = – B = – 0,376 detik busur.
• Dengan memperhitungkan delta Beta sebesar 0,003 detik busur, maka lintang ekliptika matahari sama dengan -0,373 detik busur.
• Untuk jarak bumi-matahari, koreksi seluruh sukunya memberikan hasil 0,9887043544 AU = 147908194 km.
• Selanjutnya, nilai kemiringan sumbu rotasi bumi terhadap sumbu bidang ekliptika dapat dihitung = 23,438986 derajat.
• Dengan menggunakan transformasi koordinat dari ekliptika geosentrik ke ekuator geosentrik, diperoleh right ascension (Alpha) = 232,879490 derajat = pukul 15:31:31, serta deklinasi matahari = -19,070184 = minus 19:04:13 derajat.
• Singkatnya, dari Alpha dan LST (Local Sidereal Time) dapat dihitung hour angle (HA) sebesar 93,031476 derajat.
• Akhirnya, dengan menggunakan transformasi koordinat dari ekuator geosentrik ke horisontal "geosentrik", diperoleh azimuth matahari menurut pengamat di jakarta sebesar 250,716665 derajat = 250:43:00 derajat, dan altitude (ketinggian) matahari dari ufuk sebesar -0,836305 derajat = minus 0:50:11 derajat.
• Sebagai tambahan, dapat dihitung pula sudut jari-jari matahari sebesar 0,269609 derajat = 0:16:11 derajat, serta sudut paralaks matahari sebesar 0,002471 derajat = 0:00:09 detik busur.

Berikut ini ringkasan hasil perhitungan di atas dengan menggunakan algoritma Meeus:

• Bujur ekliptika nampak matahari (Lambda) = 235:13:25 derajat.
• Lintang ekliptika matahari (Beta) = -0,37 detik busur.
• Jarak bumi-matahari = 147908194 km.
• Right Ascension matahari (Alpha) = pukul 15:31:31.
• Deklinasi matahari (Delta) = minus 19:04:13 derajat.
• Azimuth "geosentrik" matahari di jakarta = 250:43:00 derajat.
• Ketinggian sejati (True Altitude) "geosentrik" di jakarta = minus 0:50:11 derajat.

Posisi matahari di atas dapat diperoleh dengan cara mengisi angka-angka berikut pada file MS Excel (Posisi-Bulan-Matahari-Algoritma-Meeus.xls): Lintang lokasi S 6:10:0, Bujur lokasi E 106:51:0, Zona waktu lokal 7 jam, Tanggal 17 Bulan 11 Tahun 2009 Jam 17 Menit 49 Detik 43.

Beberapa Catatan

Pertama, hasil perhitungan di atas menggunakan algoritma Meeus yang sesungguhnya merupakan reduksi dari algoritma VSOP87 yang lengkap. Perhitungan menurut algoritma VSOP 87 itu sendiri untuk contoh soal di atas memberikan hasil yang sama dengan di atas, kecuali pada jarak bumi-matahari sebesar 147908036 km. Berarti untuk kasus ini, selisih jarak bumi-matahari menurut Meeus dengan VSOP87 adalah sekitar 158 km. Perbedaan ini hanya sekitar seper satu juta AU, serta jauh lebih kecil daripada diameter bumi itu sendiri (sekitar 12742 km). Kendati bidang ekliptika didefinisikan sebagai bidang orbit bumi mengitari matahari, tetapi lintang ekliptika matahari tidaklah tepat sama dengan nol. Hasil di atas adalah -0,37 detik busur atau sekitar 0,0001 derajat sehingga sering dianggap sama dengan nol. Lintang ekliptika matahari yang tidak selalu sama dengan nol ini disebabkan oleh interaksi matahari dengan planet-planet lain di dalam sistem tata surya.

Kedua, hasil perhitungan posisi matahari dengan "low accuracy" memberikan hasil sebagai berikut

• Bujur ekliptika nampak matahari (Lambda) = 235:13:31 derajat.
• Lintang ekliptika matahari (Beta) selalu dianggap = 0 derajat.
• Jarak bumi-matahari = 147899437 km.
• Right Ascension matahari (Alpha) = pukul 15:31:31.
• Deklinasi matahari (Delta) = minus 19:04:14 derajat.
• Azimuth "geosentrik" matahari di jakarta = 250:43:01 derajat.
• Ketinggian sejati (True Altitude) "geosentrik" di jakarta = minus 0:49:53 derajat.

Jika hasil "low accuracy" dibandingkan dengan algoritma Meeus, maka untuk bujur ekliptika berbeda sekitar 6 detik, Alpha tepat sama, serta deklinasi hanya berbeda 1 detik busur. Azimuth hanya berbeda 1 detik busur, sedangkan altitude berbeda sampai sebesar 18 detik busur. Adapun jarak bumi-matahari berbeda sekitar 8700 km (0,00006 AU), yang masih lebih kecil daripada diameter bumi.

Ketiga, Hasil perhitungan menggunakan algoritma Meeus di atas adalah berdasarkan koordinat geosentrik, artinya dilihat dari pusat bumi. Karena itu jika digunakan koordinat toposentrik (dilihat dari permukaan bumi), maka akan terdapat perbedaan kecil dibandingkan dengan hasil di atas. Perbedaan kecil ini disebabkan oleh faktor paralaks benda langit (pergeseran posisi benda langit karena perbedaan tempat pengamatan di bumi). Untuk matahari, telah dihitung di atas, bahwa sudut paralaks matahari adalah 00:00:09 derajat atau 9 detik busur. Angka ini relatif cukup kecil. Menurut pengamat di Jakarta, ketinggian matahari "geosentrik" menggunakan algoritma Meeus di atas adalah minus -00:50:11 derajat. Jika digunakan toposentrik yang memperhitungkan faktor paralaks, ketinggian matahari di Jakarta menjadi minus -00:50:20 derajat, atau 9 detik busur lebih dalam dibandingkan dengan menurut "geosentrik". Insya Allah pada kesempatan lain, penulis akan membahas posisi benda langit menurut koordinat toposentrik.

Keempat, pada hasil perhitungan Meeus di atas, ternyata berlaku hubungan: ketinggian matahari (minus 00:50:11) = – 00:34:00 – sudut jari-jari matahari (00:16:11 derajat). Hubungan ini berlaku saat matahari terbit atau terbenam. Untuk kasus ini, yang terjadi adalah matahari terbenam. Ini berarti, pada tanggal 17 Nopember 2009 di Jakarta, matahari terbenam pada pukul 17:49:43 WIB.

Semoga bermanfaat.

DR. Rinto Anugraha (Email: [email protected])

***

Jean Meeus adalah astronom dan matematikawan kelahiran Belgia tahun 1928. Dia belajar matematika di Universitas Leuven, Belgia, dan lulus tahun 1953. Dia tertarik pada astronomi bola dan mekanika benda langit. Jean Meeus menulis banyak buku matematika astronomi, seperti Canon of Solar Eclipses, Elements of Solar Eclipses 1951-2200, Canon of Lunar Eclipses, Astronomical Formulae for Calculators, Astronomical Algorithms, Transits, Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets, Mathematical Astronomy Morsels. Atas jasanya dalam bidang astronomi, sebuah asteriod yang ditemukan diberi nama asteroid 2213 Meeus.