Transformasi Sistem Koordinat

Adityanugroho – Selasa, 18 Jumadil Awwal 1430 H / 12 Mei 2009 13:05 WIB

Pada tulisan sebelumnya, penulis telah menjelaskan tentang empat sistem koordinat yang penting untuk diketahui dalam ilmu hisab, yaitu:

  1. Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate)
  2. Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate).
  3. Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate).
  4. Sistem Koordinat Horison (Horizontal Coordinate).

Pertanyaan penting adalah bagaimana cara menghubungkan antar sistem koordinat tersebut. Suatu sistem koordinat dapat dihubungkan dengan sistem koordinat lainnya melalui transformasi koordinat. Disini penulis hanya akan membatasi pada transformasi dari ekliptika geosentrik (no 2) ke ekuator geosentrik (no 3) dan sebaliknya, serta dari ekuator geosentrik (no 3) ke horison (no 4).

Transformasi Koordinat dari Ekliptika Geosentrik (Lambda, Beta) ke Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta).

Dalam koordinat ekliptika geosentrik, sudut lambda adalah bujur ekliptika (ecliptical longitude) yang dihitung dari vernal ekuinoks (VE), sedangkan sudut beta adalah lintang ekliptika (ecliptical latitude) atau sudut ketinggian yang dihitung dari bidang ekliptika.

Vernal ekuinoks ditunjukkan oleh lambda = beta = 0 derajat. Semua benda yang terletak pada bidang ekliptika memiliki nilai beta = 0. Nilai beta positif menunjukkan posisi benda di atas (arah utara) bidang ekliptika. Beta negatif berarti benda di bawah bidang ekliptika.

Menurut sistem koordinat ekliptika heliosentrik, bumi mengitari matahari di bidang ekliptika. Sebaliknya menurut sistem koordinat ekliptika geosentrik, matahari nampak bergerak mengitari bumi yang tentu saja juga di bidang ekliptika yang sama. Karena itu, baik bumi maupun matahari secara praktis memiliki nilai beta = 0 derajat. Dikatakan secara praktis memiliki nilai beta = 0, karena sebenarnya nilainya tidak benar-benar tepat sama dengan 0. Akibat pengaruh gravitasi dari planet-planet lain, nilai maksimum beta untuk bumi atau matahari bisa mencapai (positif/negatif) satu detik busur atau 1/3600 derajat. Masalah ini Insya Allah akan dibahas pada tulisan tentang menentukan koordinat matahari (dan planet lain) menggunakan algoritma VSOP87.

Cara menentukan besar bujur dan lintang ekliptika suatu benda langit adalah sebagai berikut. Bumi terletak di pusat koordinat (O). Misalnya benda langit tersebut adalah P. Proyeksikan atau tarik garis tegaklurus dari benda langit tersebut (P) ke bidang ekliptika. Titik proyeksi pada bidang ekliptika sebut saja titik A. Maka, beta adalah besar sudut P-O-A. Jika P di atas bidang ekliptika, beta positif. Jika P di bawah bidang ekliptika, beta negatif. Sedangkan lambda adalah besar sudut VE-O-A, dimana VE adalah vernal ekuinoks.

Pada bidang ekuator geosentrik, bidang yang menjadi referensi adalah bidang ekuator bumi, yaitu bidang yang mengiris bumi menjadi dua bagian sama besar yang melewati garis ekuator atau garis khatulistiwa. Dua koordinat sudut dalam koordinat ekuator geosentrik adalah sudut alpha dan delta. Sudut alpha (right ascension) mirip seperti bujur ekliptika (lambda), hanya saja disini bidang referensinya adalah bidang ekuator. Sudut delta (declination) juga mirip seperti lintang ekliptika (beta), hanya saja disini bidang referensinya juga bidang ekuator.

Karena itu cara menentukan sudut alpha dan delta mirip seperti pada sudut lambda dan beta, hanya saja bidang referensinya adalah bidang ekuator. Kembali untuk benda langit yang sama (P), jika P diproyeksikan tegaklurus ke bidang ekuator, dan titik proyeksi di bidang ekuator adalah titik B, maka delta adalah sudut P-O-B, dimana O adalah pusat koordinat (bumi). Sedangkan sudut alpha adalah sudut VE-O-B.

Sangat penting untuk diketahui, bidang ekuator tidak sejajar dengan bidang ekliptika, tetapi membentuk sudut kemiringan (obliquity) sebesar epsilon yang besarnya kira-kira sebesar 23,5 derajat. Sudut ini sebenarnya tidak konstan sepanjang masa, tetapi ada kecenderungan untuk terus mengecil. Saat ini, angka sudut kemiringan adalah sebesar 23,43808 derajat = 23:26:17 derajat = 23d 26m 17s (dibaca 23 derajat 26 menit busur 17 detik busur). Angka sudut kemiringan yang lebih akurat jika memperhitungkan faktor koreksi seperti nutasi (osilasi sumbu rotasi bumi di sekitar nilai rata-ratanya) adalah 23,439607 derajat = 23:26:23 derajat. Masalah perubahan sudut kemiringan beserta faktor koreksi ini Insya Allah dibahas pada kesempatan lain.

Rumus transformasi koordinat dari Ekliptika Geosentrik (Lambda, Beta) ke Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta) adalah sebagai berikut.

Contoh soal:

Pada hari Sabtu, 25 April 2009 saat matahari terbenam di Jakarta pada pukul 17:48:08 WIB, posisi bulan terletak pada bujur ekliptika adalah 39:27:54 derajat, sedangkan lintang ekliptika adalah 4:59:18 derajat. Jika sudut kemiringan ekliptika-ekuator = 23,439607 derajat, tentukan sudut alpha dan delta.

Jawab:

Lambda = 39:27:54 derajat = 39 + 27/60 + 54/3600 = 39,46500 derajat.

Beta = 4:59:18 derajat = 4 + 59/60 + 18/3600 = 4,98833 derajat.

Epsilon = 23,439607 derajat.

Sin(Lambda) = 0,635607, dan Cos(Lambda) = 0,772013.

Sin(Beta) = 0,086953, Cos(Beta) = 0,996212, dan Tan(Beta) = 0,087283.

Sin(Epsilon) = 0,397782, dan Cos(Epsilon) = 0,917480.

Dari angka-angka di atas, diperoleh

Tan(Alpha) = 0,548437/0,772013 = 0,710398.

Alpha = 35,389914 derajat. Karena sudut Alpha biasanya dinyatakan dalam jam (1 jam = 15 derajat), maka Alpha = 35,389914/15 = 2,359328 = 2h:21m:34s (2 jam 21 menit 34 detik).

Sementara itu Sin(Delta) = 0,331653.

Delta = 19,369136 derajat = 19:22:9 derajat (19 derajat 22 menit busur 9 detik busur).

Kesimpulan: Alpha = 2h:21m:34s dan Delta = 19:22:9 derajat.

Transformasi koordinat dari Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta) ke Ekliptika Geosentrik (Lambda, Beta)

Ini adalah kebalikan dari transformasi koordinat sebelumnya. Rumus transformasi koordinat dari Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta) ke Ekliptika Geosentrik (Lambda, Beta) adalah

Contoh soal:

Pada waktu dan tempat yang sama seperti pada contoh soal di atas, posisi matahari di koordinat ekuator geosentrik adalah sebagai berikut. Alpha = 2h:12m:17,5s dan Delta = 13:18:40,3 derajat. Tentukan nilai Lambda dan Beta untuk matahari.

Jawab:

Alpha = 2h:12m:17,5s = (2 + 12/60 + 17,5/3600)*15 derajat = 33,072917 derajat.

Delta = 13:18:40,3 derajat = 13 + 18/60 + 40,3/3600 derajat = 13,311194 derajat.

Epsilon = 23,439607 derajat.

Sin(Alpha) = 0,545706, dan Cos(Alpha) = 0,837977.

Sin(Delta) = 0,230240, Cos(Delta) = 0,973134 dan Tan(Delta) = 0,236596.

Sin(Epsilon) = 0,397782, dan Cos(Epsilon) = 0,917480.

Karena itu nilai Tan(Lambda) = 0,594788/0,837977 = 0,709791.

Lambda = 35,366773 derajat = 35:22:0,3 derajat = 35 derajat 22 menit busur dan 0,3 detik busur.

Sin(Beta) = 0,0000002.

Beta = 0,000013 derajat = 0:0:0,05 derajat = 0,05 detik busur.

Kesimpulan: Lambda = 35:22:0,3 derajat dan Beta = 0,05 detik busur. Perhatikan sudut Beta untuk matahari yang nilainya sangat dekat dengan nol derajat.

Transformasi koordinat dari Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta) ke Horison (A, h)

Pengamat di bumi ingin mengetahui posisi benda langit dalam bentuk ketinggian benda tersebut dari horison dan arahnya. Dalam hal ini digunakan sistem koordinat horison dengan koordinat h dan A. Sudut h adalah ketinggian benda langit tersebut dari permukaan horison. Jika benda tersebut di atas horison maka sudut h positif. Sebaliknya jika benda tersebut di bawah horison, maka sudut h negatif.

(Catatan: untuk perhitungan sudut h yang lebih teliti, faktor pembiasan cahaya oleh atmosfer karena perbedaan indeks bias lapisan atmosfer harus diperhitungkan. Akibat faktor ini, saat benda langit (seperti matahari) terbit atau terbenam di ufuk, posisi sebenarnya berada sedikit di bawah ufuk atau h negatif. Hal ini Insya Allah dibahas pada kesempatan lain.)

Sudut antara arah utara dengan proyeksi posisi benda langit ke horison adalah sudut azimuth. Sedikit catatan, bahwa dalam berbagai referensi, sudut azimuth dihitung dari arah selatan. Untuk membedakannya, sudut azimuth dari arah utara adalah A. Sedangkan sudut azimuth dari arah selatan disebut As.

Dari sudut Alpha di ekuator geosentrik, biasanya dicari dahulu HA (hour angle). Hubungan antara HA dan Alpha adalah

HA = LST – Alpha.

Dalam hal ini LST adalah Local Sidereal Time, yang sudah dibahas pada tulisan tentang Macam-Macam Waktu.

Rumus transformasi koordinat dari Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta) ke Horison (h, A) adalah

Salah satu rumus transformasi di atas adalah rumus mencari sin(h). Rumus tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

Rumus ini sangat berguna dalam penyusunan jadwal waktu shalat. Masalah ini Insya Allah dibahas pada kesempatan lain.

Contoh soal:

Dari contoh soal di atas diketahui bahwa pada tanggal 25 April 2009 pukul 17:48:08 WIB, koordinat ekuator bulan adalah: Alpha = pukul 2,359328 dan Delta = 19,369136 derajat. Tentukan koordinat horison bulan di Jakarta (bujur geografis 106:51:0 derajat BT dan lintang geografis 6:9:0 derajat LS) pada waktu tersebut.

Jawab:

Pertama kali, tentukan GST dan LST. Silakan lihat pembahasan GST dan LST pada tulisan sebelumnya tentang Macam-Macam Waktu.

Tanggal 25 April 2009 pukul 0 UT = JD 2454946,5.

T = 0,093127994524.

GST untuk pukul 0 UT = 14,2093425.

GST untuk pukul 17:48:08 WIB atau pukul 10:48:08 UT = 1,041140.

Bujur geografis = 106:51:0 derajat = 106,85 derajat

LST = 1,041140 + 106,85/15 = pukul 8,164474.

Alpha = pukul 2,359328.

HA (Hour Angle) = LST – Alpha = 8,164474 – 2,359328 = pukul 5,805146 = 5,805146*15 = 87,07719 derajat.

Selanjutnya, nilai h (altitude) dan azimuth As dapat dihitung sebagai berikut.

Lintang geografis = Fai = 6:9:0 derajat LS = -(6 + 9/60 +0/3600) = -6,15 derajat. Nilainya negatif karena terletak di lintang selatan.

Delta = 19,369136 derajat.

Sin(HA) = 0,998699, dan Cos(HA) = 0,0509905.

Sin(Fai) = -0,107132, dan Cos(Fai) = 0,9942448.

Sin(Delta) = 0.331653, Cos(Delta) = 0,94340145, dan Tan(Delta) = 0,35155022.

Dari angka-angka di atas, diperoleh

Sin(h) = 0,0122973.

h = 0,7046 derajat = 0:42:17 derajat.

Tan(As) = (0,998699)/(-0,354990) = -2,813318.

As = 109,56786 derajat.

A = 109,56786 – 180 = -70,43214 derajat = -70,43214 + 360 = 289,56786 derajat = 289:34:4 derajat.

Kesimpulan: Di Jakarta (bujur geografis 106:51:0 derajat dan lintang geografis -6:9:0 derajat) pada pukul 17:48:08 WIB, posisi bulan terletak pada ketinggian sekitar h = 0,7 derajat di atas horison. Sementara Azimuth bulan adalah = 289,6 derajat atau 19,6 derajat di sebelah kanan titik barat.

Transformasi koordinat dari Horison (A, h) ke Ekuator Geosentrik (Alpha, Delta)

Pada transformasi koordinat ini, rumus yang digunakan adalah

File MS Excel

Mengingat banyaknya rumus yang diberikan di atas, penulis melampirkan file Excel tentang perhitungan rumus di atas. File tersebut seperti biasa penulis letakkan di web hosting ifile.it. Untuk file Excel yang digunakan pada bahasan ini, alamatnya adalah http://ifile.it/0z6t481 Cara mendownloadnya mudah saja. Ketik address tersebut. Kemudian lihat sebelah atas, klik tulisan "Request Download Ticket". Selanjutnya klik tulisan "Download". File segera dapat didownload. Adapun file pdf tulisan ini dapat didownload di http://ifile.it/jgvtbfz

Semoga bermanfaat.

DR. Rinto Anugraha

Email: rinto74 (at) yahoo (dot) com

Referensi:

  • Jean Meeus: Astronomical Algorithm, Willmann-Bell, Virginia, 1991.
  • Oliver Montenbruck: Practical Ephemeris Calculations, Springer-Verlag, 1999.

Ilmu Hisab Terbaru

blog comments powered by Disqus